Question

已知log₃x=（log₃y）²
（1）若x=3y，求x，y的值；
（2）当x，y为何值时，

x

y

取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若x=3y，则由条件求得log₃y 的值，可得y的值，从而求得对应的x的值．
（2）令

x

y

=k，则由条件可得 log₃k=（log₃y）² -log₃y，利用二次函数的性质可得当 log₃y=

1

2

时，log₃k取得最小值为-

1

4

，从而求得当x，y为何值时，

x

y

取得最小值．

解答： 解：（1）若x=3y，则由 log₃x=（log₃y）² ，可得 1+log₃y=（log₃y）² ，求得log₃y=

1- 5

2

，或log₃y=

1+ 5

2

．
∴

x=3 3- 5 2 y=3 1- 5 2

，或

x=3 3+ 5 2 y=3 1+ 5 2

．
（2）令

x

y

=k，则由log₃x=（log₃y）² ，可得log₃k+log₃y=（log₃y）² ，
即 log₃k=（log₃y）² -log₃y，故当 log₃y=

1

2

时，log₃k取得最小值为-

1

4

，
此时，x=

4	3

，y=

3

，k最小为3-

1

4

=

1

4 3

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，二次函数的性质，属于基础题．