Question

【题目】如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)证明：BD∥平面PEC；

(3)线段BC上是否存在点M，使得AE⊥PM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）结合三视图，得到四棱锥P﹣ABCD的相关棱长，从而求出体积；（2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD∥平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可；（3）连接BP，要证AE⊥PM，只需证明AE⊥平面PBM，即可证明AE⊥PM．

（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，

且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，∴VP﹣ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝．

（2）证明：连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四边形EBOF为平行四边形，

∴EF∥BD．又EF平面PEC，BD平面PEC，所以BD∥平面PEC．

（3）连接BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE．又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，且PB BC=B

∴AE⊥平面PBC，点M在线段BC上∴AE⊥PM．