【题目】平面上有n个点,任意三点不共线,任意两点之间连一条线段,并将每条线段染为红色与蓝色之一,称三边颜色相同的三角形为“同色三角形”.记同色三角形的个数为S.
(1)若,对于所有可能的染法,求S的最小值;
(2)若(整数),对于所有可能的染法,求S的最小值.
【答案】
【解析】
对于(),统一证明:S的最小值为.
因为共有个三角形,所以,非同色三角形有个.
称两条邻边(有一个公共点)同色的角为同色角.
接下来计算同色角的个数.
一方面,同色角的个数为
.
另一方面,对于每个点A,由点A引出的条边中,若一种颜色的边有i条,则另一种颜色的边有()条.
于是,以A为顶点的同色角的个数为,
其中,当,1时,.
设.
从而,当时,严格单调下降.
则以A为顶点的同色角的个数至少为.
故.
下面的例子说明为S的最小值.
设这2k个点分别为.
将两两之间的连线染为红色,两两之间的连线染为红色.对于所有i、,将、之间的连线染为蓝色,则不存在蓝色三角形,且以中任意三个点为顶点的三角形均为红色三角形,以中任意三个点为顶点的三角形均为红色三角形.
因此,同色三角形的个数为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随机抽取某校高一100名学生的期末考试英语成绩(他们的英语成绩都在80分140分之间),将他们的英语成绩(单位:分)分成:,,,,六组,得到如图所示的部分频率分布直方图,已知成绩处于内与内的频数之和等于成绩处于内的频数,根据图中的信息,回答下列问题:
(1)求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和;
(2)求成绩处于内与内的频率之差;
(3)用分层抽样的方法从成绩不低于120分的学生中选取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任选2人,记这2人中成绩低于130分的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示).
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)证明:BD∥平面PEC;
(3)线段BC上是否存在点M,使得AE⊥PM?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知分别为椭圆的左、右焦点,且椭圆经过点和点,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线椭圆于另一点,点在直线上,且.若,求直线的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】人的正常体温在至之间,下图是一位病人在治疗期间的体温变化图.
现有下述四个结论:
①此病人已明显好转;
②治疗期间的体温极差小于;
③从每8小时的变化来看,25日0时~8时体温最稳定;
④从3月22日8时开始,每8小时量一次体温,若体温不低于就服用退烧药,根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药.
其中所有正确结论的编号是( )
A.③④B.②③C.①②④D.①②③
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)若函数在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.
分组(单位:岁) | 频数 | 频率 |
5 | ||
① | ||
② | ||
合计 |
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球,其中两只是红色,三只是绿色,顾客从袋子中一次摸出两只球,若两只球都是红色,则奖励元;共两只球都是绿色,则奖励元;若两只球颜色不同,则不奖励.
(1)求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率;
(2)记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额,求随机变量的分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com