某地有三家工厂.分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处.已知AB= 20km,CB = 10km .为了处理三家工厂的污水.现要在矩形ABCD 的区域中.且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂.并铺设排污管道AO,BO,OP .设排污管道的总长为km． (Ⅰ)设∠BAO=(rad).将表示成的函数关系式,中的函数关系式.确定污水� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB="20km,CB" ="10km" ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域中（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为

km．
（Ⅰ）设∠BAO=

(rad)，将

表示成

的函数关系式；
（Ⅱ）请用（Ⅰ）中的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

（Ⅰ）由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=

(rad) ，则

, 故

，又OP＝

，
所以

，
所求函数关系式为

（Ⅱ）

令

0 得sin

，因为

，所以

，
当

时，

，

是

的减函数；当

时，

，

是

的增函数，所以当

时，

。
这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

略

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