Question

15．已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，A为双曲线的右支上的一点，F₁（-5，0）、F₂（5，0）分别为双曲线的左、右焦点，若∠F₁AF₂=60°，则△F₁AF₂的面积为（　　）

• A． 8
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求出渐近线方程，由题意可得c=5，即a²+b²=25，且$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，解得a=4，b=3，可得双曲线的方程，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=36，再由△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得c=5，即a²+b²=25，且$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=4，b=3，
即双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
又|AF₁|-|AF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2c=10，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|-|AF₂|）²+|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²+|AF₁|•|AF₂|，
可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=36，
则△F₁AF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×36×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．