Question

13．某班排演入场式阵型，设计为菱形．若菱形ABCD的点A到两条平行边线l₁、l₂的距离分别为4m、8m，边线l₁与菱形阵区的最近点D的距离为1m，l₂与该菱形阵区的最近点B的距离为2m．

（1）如图甲，菱形阵区在点A的右侧，若∠BAD=60°，请据此算出菱形阵区的面积；
（2）如图乙，菱形阵区在点A的两侧，试确定∠BAD的余弦，使菱形阵区的面积最小，并求出最小面积．

Answer 1

分析 （1）设AD与l₁所成夹角为α，则AB与l₂所成夹角为60°-α，由菱形ABCD的边长相等结合正弦定理求出tanα=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，由此能求出菱形阵区的面积．
（2）设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ，θ∈（120°，180°），则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），由菱形ABCD的边长相等结合正弦定理得tanα=$\frac{sinθ}{2+cosθ}$，从而得到菱形阵区的面积S=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$），再利用导数性质能求出菱形阵区的最小面积．

解答 解：（1）如图甲，设AD与l₁所成夹角为α，则AB与l₂所成夹角为60°-α，
由菱形ABCD的边长相等得$\frac{3}{sinα}=\frac{6}{sin（60°-α）}$，解得tanα=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
所以，菱形阵区的面积S=$（\frac{3}{sinα}）^{2}•sin60°$=$9（1+\frac{1}{ta{n}^{2}α}）•sin60°$=$42\sqrt{3}$（m²）．（6分）
（2）如图乙，设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ，θ∈（120°，180°），则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），
由菱形ABCD的边长相等得$\frac{3}{sinα}=\frac{6}{sin（180°-θ+α）}$，解得tanα=$\frac{sinθ}{2+cosθ}$，
所以，菱形阵区的面积S=$（\frac{3}{sinα}）^{2}•sinθ$=9（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$）•sinα=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$），
由S′=9（$\frac{5+4cosθ}{sinθ}$）′=-9（$\frac{5cosθ+4}{si{n}^{2}θ}$）=0，得cosθ=-$\frac{4}{5}$，（12分）
经检验得，当$cosθ=-\frac{4}{5}$时，菱形阵区的面积${S}_{min}=27（{m}^{2}）$，
∴菱形阵区的最小面积为27m²．（13分）

点评 本题考查菱形阵区的面积的求法，考查∠BAD的余弦的确定，使菱形阵区的面积最小，并求出最小面积，是中档题，解题时要注意正弦定理和导数性质的合理运用．