Question

19．设S={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z}
（1）若a∈Z，则是否a∈S？
（2）对S中的任意两个元素x₁，x₂，是否都有x₁+x₂∈S，x₁•x₂∈S成立？

Answer 1

分析 （1）因为a 是集合S中的元素，故a=a+0×$\sqrt{2}$∈S．
（2）不妨设x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），从而可得x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈S，x₁x₂=（a₁a₂+2b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S．

解答 解：（1）因为a 是集合S中的元素，
故a=a+0×$\sqrt{2}$∈S
（2）∵x₁∈S，x₂∈S，
∴不妨设x₁=a₁+b₁$\sqrt{2}$，x₂=a₂+b₂$\sqrt{2}$，（a₁，b₁，a₂，b₂∈Z），
∴x₁+x₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂∈Z，
∴x₁+x₂∈S，
同理可证明：x₁x₂=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{2}$∈S

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于基础题