Question

4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，AD=m（m＞0），E为BC的中点，且∠A₁ED=90°
（1）求异面直线A₁E与CD所成角的大小；
（2）若点M满足$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{M{B}_{1}}$，问：是否存在实数λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以AB、AD、AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁E与CD所成角．
（2）先求出M（1，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），再求出平面A₁ED的法向量，从而能求出存在实数λ=$\frac{5}{3}$，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同时成立．

解答 解：（1）以AB、AD、AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（1，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{2}$），D（0，m，0），E（1，$\frac{m}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，$\frac{m}{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{ED}$=（-1，$\frac{m}{2}$，0），
∵∠A₁ED=90°，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{ED}$=-1+$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，解得m=2或m=-2（舍），
∴m=2，∴$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（-1，-1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{E{A}_{1}}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{E{A}_{1}}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线A₁E与CD所成角为60°．
（2）存在实数λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同时成立，理由如下：
∵B（1，0，0），B₁（1，0，$\sqrt{2}$），设M（a，b，c），
∵点M满足$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{M{B}_{1}}$，∴（a-1，b，c）=$\frac{1}{2}$（1-a，-b，$\sqrt{2}-c$），
解得a=1，b=0，c=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴M（1，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∵存在实数λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED，
∴N（0，2λ，0），$\overrightarrow{MN}$=（-1，λ，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
设平面A₁ED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=x+y-\sqrt{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=-x+y=0}\end{array}\right.$，
解得$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=0，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$+$\frac{\sqrt{2}}{3}$=0，解得$λ=\frac{5}{3}$．
∴存在实数λ=$\frac{5}{3}$，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同时成立．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．