Question

3．已知函数$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），利用三角函数周期公式即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），当2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时f（x）递增，由2k$π-\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的递增区间．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵由已知$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$=$\frac{1-cosx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$，（3分）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{6}$），（6分）
∴f（x）的最小正周期为2π．（7分）
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），当2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时f（x）递增，（10分）
即2k$π-\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z． 
∴函数f（x）的递增区间为：[2k$π-\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．