Question

13．化简：
（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx；
（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$；
（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）；
（5）sin347°cos148°+sin77°cos58°；
（6）sin164°sin224°+sin254°sin314°；
（7）sin（α+β）cos（γ-β）-cos（β+α）cos（β-γ）；
（8）sin（α-β）sin（β-γ）-cos（α-β）cos（γ-β）；
（9）$\frac{tan\frac{5π}{4}+tan\frac{5π}{12}}{1-tan\frac{5π}{12}}$；
（10）$\frac{sin（α+β）-2sinαcosβ}{2sinαsinβ+cos（α+β）}$．

Answer 1

分析 根据两角和差的正弦余弦正切公式以及诱导公式分别化简即可．

解答 解：（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx=6$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=6$\sqrt{5}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）；
（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$-x）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（x-$\frac{π}{12}$）；
（5）sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（6）sin164°sin224°+sin254°sin314°=-sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos（44°+16°）=cos60°=$\frac{1}{2}$；
（7）sin（α+β）cos（γ-β）-cos（β+α）cos（β-γ）=cos（γ-β）[sin（α+β）-cos（β+α）]=$\sqrt{2}$cos（γ-β）sin（α+β-$\frac{π}{4}$）；
（8）sin（α-β）sin（β-γ）-cos（α-β）cos（γ-β）=-cos（α-β+β-γ）=-cos（α-γ）；
（9）$\frac{tan\frac{5π}{4}+tan\frac{5π}{12}}{1-tan\frac{5π}{12}}$=$\frac{tan\frac{π}{4}+tan\frac{5π}{12}}{1-tan\frac{π}{4}tan\frac{5π}{12}}$=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{5π}{12}$）=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$；
（10）$\frac{sin（α+β）-2sinαcosβ}{2sinαsinβ+cos（α+β）}$=$\frac{sin（β-α）}{cos（α-β）}$=tan（β-α）．

点评 本题考查了三角函数的化简和求值，关键掌握两角和差的正弦余弦正切公式以及诱导公式，属于基础题．