Question

1．已知二次函数f（x）=x²+ax+b图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，且f（1）=0，数列{a_n}满足a_n=f（2n+1）-f（2n）-1．
（1）求数列{a_n}的前30项和；
（2）若a_m，a_t（m，t∈N^*）是数列{a_n}中的项，试判断2a_m+3a_t是否是数列{a_n}中的项，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得二次函数的对称轴方程，可得a=-1，再由f（1）=0，可得b=0，进而得到f（x），求得数列的通项公式，再由前n项和的公式，计算可得；
（2）由题意可得a_m=4m-1，a_t=4t-1，2a_m+3a_t=8m-2+12t-3=8m+12t-5=4（2m+3t-1）-1，由整数的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+b的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
由题意可得a=-1，1+a+b=0，解得b=0，
则f（x）=x²-x，
即有a_n=f（2n+1）-f（2n）-1=（2n+1）²-（2n+1）-（2n）²+2n-1=4n-1，
则数列{a_n}的前30项和为$\frac{1}{2}$×（3+120-1）×30=1830；
（2）由题意可得a_m=4m-1，a_t=4t-1，
2a_m+3a_t=8m-2+12t-3=8m+12t-5
=4（2m+3t-1）-1，
由m，t∈N^*，可得2m+3t-1∈N^*，
即有2a_m+3a_t是数列{a_n}中的项．

点评 本题考查二次函数的对称轴和解析式，考查等差数列的求和公式的运用，同时考查通项公式的运用，以及整数的性质，考查运算和推理能力，属于中档题．