Question

11．设S_n是正数组成的数列{a_n}的前n项和，且$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），又数列{b_n}是a₁为首项，公比为a₂-a₁的等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的最小项．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），可得$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=a₁+2，解得a₁．4S_n=${a}_{n}^{2}$+2a_n，当n≥2时，4S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，利用等差数列的通项公式即可得出．又数列{b_n}是a₁为首项，公比为a₂-a₁=2等比数列．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$＞0，可得n≥3时，c_n+1＞c_n．当n≤2时，c_n+1＜c_n．则c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），∴$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=a₁+2，解得a₁=2.4S_n=${a}_{n}^{2}$+2a_n，
当n≥2时，4S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1，∴4a_n=$（{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}）$+（2a_n-2a_n-1），
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，化为a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}为等差数列，公差为2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
又数列{b_n}是a₁为首项，公比为a₂-a₁=2等比数列．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，
c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$＞0，可得2ⁿ＞6，即n≥3时，c_n+1＞c_n．
当n≤2时，c_n+1＜c_n．则c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，
∴数列{c_n}的最小项为c₃=9．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．