Question

20．设圆O：x²+y²=1，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，定义横、纵坐标为整数的点为“格点”
（1）设圆上及圆内的“格点”构成集合A，椭圆上及椭圆内的“格点”构成集合B，求集合A，B；
（2）设C=A∪B，D=A∩B，在集合C中任取两个元素，至少有一个元素在集合D的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）根据圆的性质和椭圆的性质即可求出格点的坐标，分别写出相应的集合即可，
（2）分别求出集合C，D的元素个数，根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）由题意可得，A={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）}，
B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（-2，0），（2，0）}，
（2）设C=A∪B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），（-2，0），（2，0）}共有7个，
D=A∩B={（0，0），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）}，
从集合C中任取两个元素共有C₇²=21种，
没有有一个元素在集合D，有C₂²=1种，
故至少有一个元素在集合D的概率为1-$\frac{1}{21}$=$\frac{20}{21}$．

点评 本题考查了椭圆和圆的性质，关键求出相应的种数，属于基础题．