Question

5．设α为锐角，若$sin（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，则$cos（{2α+\frac{π}{12}}）$的值为$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先设β=α+$\frac{π}{6}$，根据sinβ求出cosβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到cos（2α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：设β=α+$\frac{π}{6}$，α为锐角，β=α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∵sinβ=$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{2π}{3}$，可得β为锐角，可求cosβ=$\frac{4}{5}$，sin2β=2sinβcosβ=$\frac{24}{25}$，cos2β=1-2sin²β=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{12}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos（2β-$\frac{π}{4}$）=cos2βcos$\frac{π}{4}$+sin2βsin$\frac{π}{4}$=$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．

点评 本题要我们在已知锐角α+$\frac{π}{6}$的余弦值的情况下，求2α+$\frac{π}{12}$的余弦函数值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．