Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点是F₁（-2，0），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如果直线l过椭圆的右焦点，且在y轴的截距是2，求直线l的方程．
（3）求以椭圆左焦点为圆心，与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由c=2，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）椭圆的右焦点（2，0），且在y轴的截距是2，可得直线l的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1．
（3）左焦点是F₁（-2，0），到直线l的距离r=$\sqrt{2}$．即可得出圆的方程．

解答 解：（1）由c=2，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
解得c=2，a²=6，b²=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）椭圆的右焦点（2，0），且在y轴的截距是2，
则直线l的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，化为x+y-2=0．
（3）左焦点是F₁（-2，0），到直线l的距离r=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴要求的圆的方程为：（x+2）²+y²=2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线的截距式、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．