Question

2．在△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AE}$，外接圆的半径为1．
（1）求证：0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）求a²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的线性运算，化简$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AE}$，得出${\overrightarrow{CB}}^{2}$-${\overrightarrow{CA}}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$，即2b²=a²+c²；再利用余弦定理求出cosB，从而求出B的取值范围；
（2）由正弦定理求出b的表达式与取值范围，再求出a²+c²的取值范围．

解答 解：（1）证明：△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，

∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AE}$，
∴（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），
即${\overrightarrow{CB}}^{2}$-${\overrightarrow{CA}}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
即2b²=a²+c²；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}$=2R，
∴b=2R•sinB=2sinB；
又0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∴0＜sinB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜b≤$\sqrt{3}$，
∴0＜2b²≤6，
∴a²+c²的取值范围是（0，6]．

点评 本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了正弦和余弦定理的应用问题，是综合性题目．