Question

16．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．
（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为$\sqrt{2}$，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求椭圆E的方程；
（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求$\frac{|CM|}{|CP|}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，-b），由两点的距离公式及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设F（c，0），C（0，-b），A（a，0），B（0，b），求得直线CF，AB的方程，联立求得M的坐标，再联立椭圆方程，可得P的坐标，由$\frac{|CM|}{|CP|}$=$\frac{{x}_{M}}{{x}_{P}}$，化简整理，转化为e的式子，运用基本不等式可得最小值．

解答 解：（I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，-b），
|AN|=$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
直线AC的方程为bx-ay-ab=0，可得B到AC的距离为
d=$\frac{|2ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由△BAN的面积为$\sqrt{2}$，可得
$\frac{1}{2}$•$\frac{|2ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$•（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）=$\sqrt{2}$，
即有ab=2$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设F（c，0），C（0，-b），A（a，0），B（0，b），
可得直线CF：y=$\frac{b}{c}$x-b，直线AB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x+b，
联立直线CF和AB的方程，可得M（$\frac{2ac}{a+c}$，$\frac{b（a-c）}{a+c}$），
将直线CF的方程代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²，
可得x=0或$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
即有P（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
由$\frac{|CM|}{|CP|}$=$\frac{\frac{2ac}{a+c}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+ac}$，
由e=$\frac{c}{a}$∈（0，1），可得
$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+ac}$=$\frac{1+{e}^{2}}{1+e}$=（1+e）+$\frac{2}{1+e}$-2≥2$\sqrt{（1+e）•\frac{2}{1+e}}$-2=2$\sqrt{2}$-2．
当且仅当1+e=$\sqrt{2}$，即e=$\sqrt{2}$-1，可得最小值2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和直线方程，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查基本不等式的运用：求最值，以及化简运算能力，属于中档题．