Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0变形、整理可知a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，进而计算出前几项的值猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （1）解：∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$=a_n-1，2-a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
整理得：a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
…
猜想：a_n=$\frac{n}{n+1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k-1（k≥2）时，有a_k-1=$\frac{k-1}{k}$，
则a_k=$\frac{1}{2-{a}_{k-1}}$=$\frac{1}{2-\frac{k-1}{k}}$=$\frac{k}{k+1}$，
即当n=k时结论也成立；
由①②可知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n}{n+1}$；
（2）证明：由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{（n+1）（n+1）}{n（n+2）}$-1=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．