Question

3．设A、B分别为（1+x）ⁿ展开式中的奇数项之和与偶数项之和，则A²-B²的值为（　　）

• A． （1+x）²ⁿ
• B． （1-x）ⁿ
• C． （1-x²）ⁿ
• D． 2ⁿ⁺¹

Answer 1

分析 由题意可得，（1+x）ⁿ =${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+${C}_{n}^{3}$•x³+…+${C}_{n}^{n}$•xⁿ=A+B，且（1-x）ⁿ =${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²-${C}_{n}^{3}$•x³+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ=A-B，从而求得A²-B² 的值．

解答 解：由题意可得，（1+x）ⁿ =${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+${C}_{n}^{3}$•x³+…+${C}_{n}^{n}$•xⁿ=A+B，
（1-x）ⁿ =${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²-${C}_{n}^{3}$•x³+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ=A-B，
∴A²-B²=（1-x²）ⁿ，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，明白二项式的结构巧妙赋值是解答本题的关键属于基础题．