Question

13．在数列{a_n}中．a₁=4．a₂=10．若数列{log₃（a_n-1）}为等差数列，则T_n=a₁+a₂+…+a_n-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可判数列{a_n-1}为首项为3公比为$\frac{9}{3}$=3的等比数列，由等比数列的求和公式计算可得．

解答 解：∵数列{log₃（a_n-1）}为等差数列，
∴log₃（a_n+1-1）-log₃（a_n-1）=d，（d为公差），
∴log₃$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=d，即$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=3^d，
∴数列{a_n-1}为等比数列，
由a₁=4，a₂=10可得a₁-1=3，a₂-1=9，
∴数列{a_n-1}为首项为3公比为$\frac{9}{3}$=3的等比数列，
∴a_n-1=3×3^n-1=3ⁿ，∴a_n=3ⁿ+1，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n-n=$\frac{3×（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$
故答案为：$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题．