Question

2．设有函数f（x）=asin（kx-$\frac{π}{3}$）和函数g（x）=bcos（2kx-$\frac{π}{6}$）（a＞0，b＞0，k＞0），若它们的最小正周期之和为$\frac{3π}{2}$，且f（$\frac{π}{2}$）=g（$\frac{π}{2}$），f（$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{3}$g（$\frac{π}{4}$）-1，求这两个函数的解析式．

Answer 1

分析 由函数周期之和列式求出k的值，再利用已知条件建立a，b的方程，解出a，b，则函数解析式可求．

解答 解：由条件得：$\frac{2π}{k}+\frac{2π}{2k}=\frac{3π}{2}$，
∴k=2．
则f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$），g（x）=bcos（4x-$\frac{π}{6}$），
由f（$\frac{π}{2}$）=g（$\frac{π}{2}$），得$\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，①
由f（$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{3}$g（$\frac{π}{4}$）-1，得$\frac{a}{2}=-\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}b）-1$，②
由①②解得：a=b=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），g（x）=cos（4x-$\frac{π}{6}$）．

点评 本题考查了三角函数的周期求法，及利用方程解未知量的方程思想，解题的关键是构造关于变量a，b的方程，属于基础题．