Question

18．已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．
（1）当a=-4时，求f（x）的极值；
（2）当f（x）的最小值不小于-a时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可；
（2）问题转化为alnx+2x+a≥0，令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2，通过讨论g（x）的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
a=-4时，f（x）=-4lnx+2x，
f′（x）=2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2x-4}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（2）=4-4ln2；
（2）f（x）的最小值不小于-a，
即alnx+2x+a≥0，
令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2，
a≥0时，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，不合题意，
a＜0时，令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{2}$，令g′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{a}{2}$，
∴g（x）在（0，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）递增，
∴g（x）_最小值=g（-$\frac{a}{2}$）=aln（-$\frac{a}{2}$）≥0，
解得：-2≤a＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．