Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+（2a+c）cosB=0．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinA+2sinAcosB=0，结合sinA＞0，可得cosB=-$\frac{1}{2}$，结合B∈（0，π），即可得解B的值．
（Ⅱ）利用正弦定理及三角函数恒等变换可得$\frac{a+c}{b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），又由A∈（0，$\frac{π}{3}$），可得A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），从而可得sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可求得$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC+（2a+c）cosB=0，
由正弦定理得：sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，
化简得，sinA+2sinAcosB=0，…（2分）
又∵sinA＞0，
∴1+2cosB=0，cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）$\frac{a+c}{b}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{π}{3}$-A）]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），…（10分）
又∵A∈（0，$\frac{π}{3}$），A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴$\frac{a+c}{b}$的取值范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．