Question

【题目】已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．
（1）直线l过原点，且它的倾斜角α= ，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；
（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l的倾斜角α= ，

∴直线l的极角θ= ，或θ= ．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ

可得： 或ρ=﹣2 （舍去）．

∴l与圆E的交点A的极坐标为

（2）解：由（1）可得：线段OA的中点M ，可得直角坐标M（﹣1，1）．

又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，

设直线l的参数方向为： （t为参数），

代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，

∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．

∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2 | |，

∴||MB|﹣|MC||的最大值为2

【解析】（1）由直线l的倾斜角α= ，可得直线l的极角θ= ，或θ= ．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M ，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为： （t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．