Question

9．已知f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，用$\frac{1}{x}$替换x得 f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=3×$\frac{1}{x}$，解方程求得f（x） 的解析式．
（2）f（x）=$\frac{2}{x}$-x在区间[2，4]上是减函数，f（2）=-1，f（4）=-$\frac{7}{2}$，可得函数f（x）在区间[2，4]上的值域．

解答 解：（1）对于f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，有x≠0，
∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，用$\frac{1}{x}$替换x得
f（ $\frac{1}{x}$）+2f（x）=3×$\frac{1}{x}$，⇒2f（$\frac{1}{x}$）+4f（x）=6×$\frac{1}{x}$
解得：f（x）=$\frac{2}{x}$-x（x≠0）．
（2）f（x）=$\frac{2}{x}$-x在区间[2，4]上是减函数，f（2）=-1，f（4）=-$\frac{7}{2}$，
∴函数f（x）在区间[2，4]上的值域为[-$\frac{7}{2}$，-1]．

点评 本题考查求函数的解析式的方法，函数解析式等基本知识，用$\frac{1}{x}$替换x得到一个新的关系式是解题的难点．