Question

【题目】如图，在四棱锥中，与交于点，，，.

（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.

（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.

（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.

（II）易知 为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，所以，，，，则，，，.

设平面的一个法向量为，则有即

设，则，所以.

设平面的个法向量为，则有即

令，则，所以.

所以.

因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.