Question

4．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上，点A满足$\overrightarrow{PA}=（t-1）\overrightarrow{OP}$（t∈R），且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=64$，$\overrightarrow{OB}=（0，1）$，则$|{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}}|$的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{24}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{24}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|t||$\overrightarrow{OP}$|．有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{{x}_{A}}{t}}\\{{y}_{P}=\frac{{y}_{A}}{t}}\end{array}\right.$，将点（$\frac{{x}_{A}}{t}，\frac{{y}_{A}}{t}$）代入双曲线中得${{x}_{A}}^{2}=\frac{16{{y}_{A}}^{2}}{9}+16{t}^{2}$，由|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{25{{y}_{P}}^{2}}{9|t|}+16|t|$t||$\overrightarrow{OP}$|²=64．得|t|（$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{{t}^{2}}+\frac{{{y}_{A}}^{2}}{{t}^{2}}$）=6，即得64=$\frac{25{{y}_{P}}^{2}}{9|t|}+16|t|$$≥\frac{40}{3}{y}_{P}$，|y_P|$≤\frac{24}{5}$，|$\overrightarrow{OB}•$$\overrightarrow{OP}$|=|y_P|$≤\frac{24}{5}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}=（t-1）\overrightarrow{OP}$，∴$\overrightarrow{PA}=t\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP}$，∴$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|t||$\overrightarrow{OP}$|．
∴（x_A，y_A）=t（x_P，y_P），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{{x}_{A}}{t}}\\{{y}_{P}=\frac{{y}_{A}}{t}}\end{array}\right.$，将点（$\frac{{x}_{A}}{t}，\frac{{y}_{A}}{t}$）代入双曲线中得：$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{16{t}^{2}}-\frac{{{y}_{A}}^{2}}{9{t}^{2}}=1$．
∴${{x}_{A}}^{2}=\frac{16{{y}_{A}}^{2}}{9}+16{t}^{2}$…①，∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=64$，∴|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{25{{y}_{P}}^{2}}{9|t|}+16|t|$t||$\overrightarrow{OP}$|²=64．
∴|t|（$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{{t}^{2}}+\frac{{{y}_{A}}^{2}}{{t}^{2}}$）=64…②
由①②得64=$\frac{25{{y}_{P}}^{2}}{9|t|}+16|t|$$≥\frac{40}{3}{y}_{P}$，∴|y_P|$≤\frac{24}{5}$，
|$\overrightarrow{OB}•$$\overrightarrow{OP}$|=|y_P|$≤\frac{24}{5}$，
故选：B

点评 本题考查了向量与双曲线，方程思想、转化思想，属于中档题．