Question

11．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-m，a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知b+c=2，f（A）=-1，在使得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零点的所有m的取值中，当m取得最大值时，实数a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，易得m的值为3．通过已知函数解析式可以求得A=$\frac{π}{3}$．然后利用余弦定理和基本不等式来求a的最小值即可．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-m
=$\sqrt{3}$sin2x+（cos2x+1）-m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1-m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-m
∵在使得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零点，
∴m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在[0，$\frac{π}{2}$]内有解
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴0≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴0≤m≤3．
∴m_最大值=3，
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）-2=-1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b+c=2≥2$\sqrt{bc}$，当且仅当b=c时bc有最大值1．
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴a有最小值1，此时b=c=1．
故选：A．

点评 考查求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考查三角形中的余弦定理．有一定的难度．