Question

17．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以双曲线C的实轴为直径的圆Ω与双曲线的渐近线在第一象限交于点P，若k_FP=-$\frac{b}{a}$，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． y=±2x
• C． y=±3x
• D． y=±4x

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求出P的坐标，利用圆的方程，转化求解渐近线方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），则PF的方程为：y=-$\frac{b}{a}（x-c）$，双曲线的渐近线方程为：y=$\frac{b}{a}x$，解得P（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$）．
P在圆上，
可得：$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}={a}^{2}$，可得c²=2a²，可得a=b，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线与圆的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．