Question

定圆M：(x+

3

)2+y2=16，动圆N过点F(

3

，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．
（I）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且2a=4，c=

3

，所以b=1，从而可求求轨迹E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）因为点F(

3

，0)在圆M：(x+

3

)2+y2=16内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且2a=4，c=

3

，所以b=1，所以轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此时S△ABC=

1

2

×|OC|×|AB|=2．…（5分）
（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，
联立方程

x2 4 +y2=1 y=kx

得

x

2 A

=

4

1+4k2

，

y

2 A

=

4k2

1+4k2

，
所以|OA|²=

x

2 A

+

y

2 A

=

4(1+k2)

1+4k2

．…（7分）
由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为y=-

1

k

x，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x

解得

x

2 C

=

4k2

k2+4

，

y

2 C

=

4

k2+4

，|OC|2=

4(1+k2)

k2+4

，…（9分）
S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=

4(1+k2) 1+4k2

×

4(1+k2) k2+4

=

4(1+k2)

(1+4k2)(k2+4)

，
由于

(1+4k2)(k2+4)

≤

(1+4k2)+(k2+4)

2

=

5(1+k2)

2

，所以S△ABC≥

8

5

，…（11分）
当且仅当1+4k²=k²+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是

8

5

，
因为2＞

8

5

，所以△ABC面积的最小值为

8

5

，此时直线AB的方程为y=x或y=-x．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．