Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+3，不等式f（x）＞0的解集是{x|-1＜x＜3}
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知g（x）=（1-m）x+2m+5，若对任意x＞2，f（x）≤g（x）都成立，则实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}=2}\\{\frac{3}{a}=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）⇒-x²+2x+3≤（1-m）x+2m+5，即x²-（m+1）x+2m+2≥0，构造函数h（x）=x²-（m+1）x+2m+2，其图象的对称轴方程为x=$\frac{m+1}{2}$，则问题转化为对?x＞2，函数h（x）≥0恒成立，列出关系式，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}=2}\\{\frac{3}{a}=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，所以f（x）=-x²+2x+3，…4分
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得：-x²+2x+3≤（1-m）x+2m+5，
化简得：x²-（m+1）x+2m+2≥0，
设h（x）=x²-（m+1）x+2m+2，其图象的对称轴方程为x=$\frac{m+1}{2}$，
则问题转化为对?x＞2，函数h（x）≥0恒成立，即①$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}≤2}\\{h（2）≥0}\end{array}\right.$，解得m≤3；…6分
或②$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}＞2}\\{h（\frac{m+1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得3＜m≤7…11分
综上得，实数m的取值范围是（-∞，7]…12分

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的性质，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于中档题．