Question

13．已知定义在R上的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}\right.$且f（x+2）=f（x）．若方程f（x）-kx-2=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 利用周期作出f（x）的函数图象，根据图象和交点个数判断k的范围．

解答 解：由f（x+2）=f（x）可知f（x）周期为2，
作出f（x）的函数图象如图所示：

不妨设k＞0，∵方程f（x）-kx-2=0有三个不相等的实数根，
∴直线y=kx+2与f（x）的图象有三个交点，
∴$\frac{1}{3}＜k＜1$，
同理，当k＜0时，-1$＜k＜-\frac{1}{3}$．
故答案为：（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性的应用，属于中档题．