Question

5．已知函数g（x）=x²+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（-$\frac{7}{9}$，0）．
（1）求实数b，c的值；
（2）若不等式0≤g（x）-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$对于任意n∈N^*恒成立，求满足条件的实数x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得0和-$\frac{7}{9}$为方程x²+bx+c=0的两根，运用韦达定理可得b，c的值；
（2）由题意可得$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＞x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$对于任意n∈N^*恒成立，将$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$分子常数化，由对勾函数的单调性，可得它的范围，由恒成立思想可得x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$=0，解方程即可得到所求x的值．

解答 解：（1）函数g（x）=x²+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（-$\frac{7}{9}$，0）．
可得0和-$\frac{7}{9}$为方程x²+bx+c=0的两根，
可得0-$\frac{7}{9}$=-b，0×（-$\frac{7}{9}$）=c，
即有b=$\frac{7}{9}$，c=0；
（2）不等式0≤g（x）-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$对于任意n∈N^*恒成立，
即为$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＞x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$对于任意n∈N^*恒成立，
由$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{{4}^{n}+{2}^{n+1}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$，
由n∈N^*，可得2ⁿ≥2，2ⁿ+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
可得0＜$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$≤$\frac{2}{9}$，
则$\frac{2}{9}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$≤0，
即为x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$=0，
解得x=-1或$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查二次不等式与二次方程的关系，考查韦达定理的运用，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和对勾函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．