Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1-2S_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得S_n+1+1=2（S_n+1），即有数列{S_n+1}是以S₁+1=2，2为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式；
（2）求出b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=1，S_n+1-2S_n=1，
即为S_n+1+1=2（S_n+1），
即有数列{S_n+1}是以S₁+1=2，2为公比的等比数列，
则S_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即S_n=2ⁿ-1，n∈N*，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，
上式对n=1也成立，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，n∈N*；
（2）b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n项和T_n=（1+2+3+…+n）+[1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
设M_n=1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$M_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相减可得，$\frac{1}{2}$M_n=1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得M_n=4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）+4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用构造数列法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．