Question

1．若实数x，y满足（x-4）²+（y-8）²=4，则$\frac{y}{x-4}$的取值范围是（-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞）．

Answer 1

分析 设k=$\frac{y-0}{4-0}$=$\frac{y}{x-4}$，则它表示圆（x-4）²+（y-8）²=4上的点M（x，y）与A（4，0）连线的斜率，故当AM为圆的切线时，k取得最值，数形结合，根据圆心C到直线AM的距离等于半径，求得k的值，可得要求式子的取值范围．

解答 解：由题意可得$\frac{y}{x-4}$表示圆（x-4）²+（y-8）²=4上的点M（x，y）与A（4，0）连线的斜率，
如图所示，圆心C（4，8），半径为2，当M是直线AM和圆的切点时，
直线AM的斜率 k=$\frac{y-0}{4-0}$=$\frac{y}{x-4}$取得最值，
直线AM的方程为y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
由圆心C到直线AM的距离等于半径，可得$\frac{|4k-8-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=±$\sqrt{15}$，
故$\frac{y}{x-4}$的取值范围是 （-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞），
故答案为：（-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞）．

点评 本题主要考查直线的斜率的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．