Question

18．设等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁＞0，记T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．
（1）用a₁、d分别表示T₁、T₂、T₃，并猜想T_n；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用裂项法计算T₁、T₂、T₃，并猜想结论；
（2）先验证n=1，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1猜想成立．

解答 解：（1）T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$；
T₂=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{3}}$）=$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2d）}$；
T₃=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）=$\frac{3}{{a}_{1}{a}_{4}}$=$\frac{3}{{a}_{1}（{a}_{1}+3d）}$；
由此可猜想T_n=$\frac{n}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$．
（2）证明：①当n=1时，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$，结论成立，
②假设当n=k时（k∈N^*）时结论成立，
即T_k=$\frac{k}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）}$，
则当n=k+1时，T_k+1=T_k+$\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$=$\frac{k[{a}_{1}+（k+1）d]+{a}_{1}}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$
=$\frac{（{a}_{1}+kd）（k+1）}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$=$\frac{k+1}{{a}_{1}[{a}_{1}+（k+1）d]}$．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知，T_n=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$对于一切n∈N^*恒成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．