Question

9．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的、左右焦点分别为F₁，F₂，M（1，4），点F₁，F₂分别为△MAB的边MA，MB的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|-|BN|的值为16．

Answer 1

分析 连接PF₁，PF₂，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=4，
连接PF₁，PF₂，
由PF₁是△MAN的中位线，
可得|AN|=2|PF₁|，
由PF₂是△MBN的中位线，
可得|BN|=2|PF₂|，
由双曲线的定义可得：
|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
则|AN|-|BN|=2（|PF₁|-|PF₂|）=2×8=16．
故答案为：16．

点评 本题考查双曲线的定义、方程的运用，考查三角形的中位线定理的运用，以及运算能力，属于中档题．