Question

13．已知等差数列{a_n}满足a₅=a₂+a₃，a₁₃=13．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$，数列{b_n}前n项和为S_n，证明：$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1＜S_n＜$\sqrt{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n}}$，由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，运用裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的公差设为d，
a₅=a₂+a₃，a₁₃=13，可得
a₁+4d=2a₁+3d，a₁+12d=13，
解得a₁=d=1，
a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{2\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n}}$，
数列{b_n}前n项和为S_n，
由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
可得S_n＜1-0+$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$=$\sqrt{n}$=$\sqrt{{a}_{n}}$，
由$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
可得S_n＞$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}$-1=$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1，
则$\sqrt{{a}_{n+1}}$-1＜S_n＜$\sqrt{{a}_{n}}$成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和和不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．