Question

5．已知函数f（x）=mx²-mx-1
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若?x∈[1，3]使得f（x）＜5-m成立，求实数m的取值范围．
（3）解关于x的不等式f（x）≤x-2（m≠0）

Answer 1

分析 （1）通过讨论m的范围结合二次函数的性质求出m的范围即可；
（2）问题转化为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x-1}$在[1，3]有解，根据函数的单调性求出m的范围即可；
（3）问题转化为（x-1）（mx-1）≤0，通过讨论m的范围求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）m=0时，f（x）=-1＜0恒成立，
m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△{=m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜0，
故m的范围是（-4，0]；
（2）依题意得：mx²-mx-1＜5-m在[1，3]有解，
$\begin{array}{l}∴（{x^2}-x+1）m＜6\\ 又{x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}＞0\\∴m＜\frac{6}{{{x^2}-x+1}}在[{1，3}]有解\\∴m＜（{\;}\right.\frac{6}{{{x^2}-x+1}}{\left.{\;}）_{max}}\end{array}$，
又g（x）=x²-x+1在[1，3]为增函数，
∴g（x）_min=g（1）=1，
$\begin{array}{l}∴{（{\frac{6}{{{x^2}-x+1}}}）_{max}}=6\\∴m＜6\end{array}$
（3）mx²-mx-1≤x-2（m≠o）
∴mx²-（m+1）x+1≤0（m≠o），
∴（x-1）（mx-1）≤0，
∴$（{x-1}）（{mx-1}）=0的两根为1，\frac{1}{m}$，
$当m＜0，不等式的解集为（{-∞，\left.{\frac{1}{m}}]}\right.∪[1\right.，+∞）$，
$当o＜m＜1，不等式的解集为[{1，\frac{1}{m}}]$，
当m=1，不等式的解集为{x|x=1}，
$当m＞1，不等式的解集为[{\frac{1}{m}，1}]$．

点评 本题考查函数恒成立及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值．