Question

10．如图所示，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁、A₂、B₁、B₂是椭圆的四个顶点，且$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上异于顶点的任意点，直线B₂P交x轴于点Q，直线A₁B₂交A₂P于点E，设A₂P的斜率为k，EQ的斜率为m，问：2m-k能不能为定值？若能为定值，请求出这个定值；若不能为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=3．列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由A₁（-2，0）、A₂（2，0）、B₁（0，-1）、B₂（0，1），得直线A₂P的方程为y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，由此利用韦达定理、直线方程、直线的斜率公式，结合已知条件能求出2m-k为定值．

解答 解：（1）∵$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}⇒{a^2}=4{b^2}$①（1分）
由已知，A₁（-a，0）、A₂（a，0）、B₁（0，-b）、B₂（0，b）
∴$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（a，-b），\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=（a，b）$
由$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=3$得a²-b²=3．②（3分）
由①②得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（4分）
证明：（2）由（1）知，A₁（-2，0）、A₂（2，0）、B₁（0，-1）、B₂（0，1）
∴直线A₂P的方程为y=k（x-2）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0（6分）
设P（x₁，y₁），则${x_1}+2=\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}⇒{x_1}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$，∴$P（\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{-4k}{{1+4{k^2}}}）$
直线B₂P的方程为$y-1=\frac{{4{k^2}+4k+1}}{{2-8{k^2}}}x$，即$y=-\frac{2k+1}{4k-2}x+1（k≠\frac{1}{2}）$
令y=0，得$x=\frac{4k-2}{2k+1}$，即$Q（\frac{4k-2}{2k+1}，0）$（8分）
直线A₁B₂的方程为x-2y+2=0
由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+2=0\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得：$E（\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}）$（10分）
∴直线EQ的斜率$m=\frac{{-\frac{4k}{2k-1}}}{{\frac{4k-2}{2k+1}-\frac{4k+2}{2k-1}}}=\frac{2k+1}{4}$，
∴$2m-k=2•\frac{2k+1}{4}-k=\frac{1}{2}$，是定值．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率组合的代数式是否为定值的判断与求法，考查椭圆性质、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．