Question

1．已知三条直线l₁：ax-y+a=0，l₂：x+ay-a（a+1）=0，l₃：（a+1）x-y+a+1=0，a＞0．
（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；
（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）分别求出直线l₁与l₃的交点A、l₁与l₂的交点B和l₂与l₃的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；
（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．

解答 解：（1）证明：直线l₁：ax-y+a=0恒过定点A（-1，0），
直线l₃：（a+1）x-y+a+1=0恒过定点A（-1，0），
∴直线l₁与l₃交于点A；
又直线l₂：x+ay-a（a+1）=0不过定点A，
且l₁与l₂垂直，必相交，设交点为B，则B（$\frac{-1}{{a}^{2}+1}$，$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+1}$）；
l₂与l₃相交，交点为C（0，a+1）；
∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，
即这三条直线共有三个不同的交点；
（2）根据题意，画出图形如图所示；

AB⊥BC，
∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；
则△ABC的面积最大值为
S=$\frac{1}{2}$•|AC|•$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{4}$×（1+（a+1）²）=$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了直线的交点与应用问题，也考查了方程组与三角形面积的计算问题，是中档题．