Question

7．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

学生	A	B	C	D	E
数学成绩x（分）	89	91	93	95	97
物理成绩y（分）	87	89	89	92	93

（1）根据上表数据在图中作散点图，求y与x的线性回归方程；
（2）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．
参考公式：回归直线的方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程；
（2）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90分的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．

解答 解：（1）散点图如图所示：

可求得：$\overline{x}$=$\frac{89+91+93+95+97}{5}=93$，$\overline{y}=\frac{87+89+89+92+93}{5}=90$，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=40$，$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}=30$．
根据所给的数据，可以计算出$\widehatb=\frac{30}{40}=0.75$，$\widehata=90-0.75×93=20.25$，
∴y与x的线性回归方程为$\widehaty=0.75x+20.25$．
（2）从5名学生中，任取2名学生的所有取法为（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，D）、（C，E）、（D，E），共有10种情况，
其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况是（A，D）、（A，E）、（B，D）、（B，E）、（C，D）、（C，E）、（D，E），共计7种，
因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率$\frac{7}{10}$．

点评 本题主要考查了线性回归方程和古典概型等知识，考查了学生的数据处理能力和计算能力，是中档题．