Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cisx），

b

=（cosx，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；
（Ⅱ）由三角函数的图象与性质，结合区间x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数f（x）的最值以及对应x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴当sin(2x+

π

6

)=-

1

2

时，f（x）取得最小值0，此时2x+

π

6

=-

π

6

，∴x=-

π

6

，
∴当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）取得最大值

3

2

，此时2x+

π

6

=

π

2

，∴x=

π

6

．

点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．