Question

（本小题12分）已知如图，圆和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的点，.

（1）当直线的斜率为时，求线段的长；

（2）设点和点关于直线对称，问是否存在圆的切线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）圆的圆心坐标为，半径，设，，设的方程，利用直线是圆的切线，求得的值，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长；

（2）利用直线是圆的切线，可得，满足的一个方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用，可得，满足的另一个方程，联立方程组可求得，的值，从而得到满足题设的直线.

试题解析：∵圆：，∴圆心坐标为，半径，（1）当直线的斜率为时，设的方程为，即，∵直线是圆的切线，∴，解得或（舍），此时直线的方程为，由，消去得，∴，设，，则，，得，∴弦长；

（2）∵直线是圆的切线，∴，得①，由，消去得，∴，即，且，，∵点和点关于直线对称，∴点为，∴，，∵，∴，

即，即②，①+②，得，

解得或，当时，代入①解得，，满足条件，当时，代入①得，无解，综上所述，存在满足条件的直线，其方程为.

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.弦长的计算；3.韦达定理的运用.

考点分析： 考点1：抛物线的标准方程 考点2：抛物线的几何性质 试题属性

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