Question

已知函数f（x）=

2x-a

2x+1

（a＞-1）．
（1）当a=2时，求证f（x）不是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，且f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）举个反例，使得f（-a）≠-f（a）即可；
（2）利用函数的单调性进行证明即可，注意指数函数y=2^x性质的运用；
（3）先根据题意求出a的值，然后f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]时恒成立，将式子变形为f（x）-（x²-4x）≥m在x∈[-2，2]时恒成立即可，在研究左边函数的单调性，求出其最小值即可．

解答： 解：（1）易知，函数的定义域为R，而此时f（0）=-

1

2

≠0，
故该函数不是奇函数．
（2）由已知得f(x)=1-

a+1

2x+1

．
因为a＞-1，所以a+1＞0，所以该函数应为定义域内的增函数．
因为f′（x）=

(a+1)2xln2

(2x+1)2

，
因为a＞-1，所以a+1＞0，又2^x＞0，ln2＞0，所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在定义域内是增函数．
（3）由题意，若函数f（x）为奇函数，由f（0）=0得，a=1．
故f（x）=

2x-1

2x+1

，易证该函数为奇函数．
结合（2）可知，该函数在[-2，2]上为增函数．
由f（x）≥x²-4x+m得f（x）-（x²-4x）≥m在x∈[-2，2]上恒成立．
而y=-（x²-4x）=-（x-2）²+4在[-2，2]上为增函数，
所以函数g（x）=f（x）-（x²-4x）在区间[-2，2]上为增函数，
故此时g（x）min=g（-2）=-

63

5

，
故所求m的范围是（-∞，-

63

5

]．

点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性等性质，以及将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解的方法，属于中档题．