Question

已知函数f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x的导数为f′（x），且数列{a_n}满足a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值：
（2）若对任意n∈N^*，都有a_n+2n²≥0成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求函数的导数，得到数列的递推关系式，根据数列{a_n}是等差数列的通项公式进行求解即可求a₁的值：
（2）求出数列{a_n}的通项公式，利用不等式a_n+2n²≥0恒成立．利用参数分离法进行求解即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-sinx-

6

π

+

9

2

，则f′（

π

6

）=4；
故a_n+1+a_n=πf′（

π

6

）+3=4n+3，
（1）若数列{a_n}是等差数列，
则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，
则a_n+1+a_n=a₁+（n-1）d+a₁+nd=2a₁+（2n-1）d=4n+3，
解得d=2，a₁=

5

2

．

（2）由a_n+1+a_n=4n+3，a_n+2+a_n+1=4n+7，
两式相减得a_n+2-a_n=4，
故数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列，
数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列，
又a₁+a₂=7，∴a₂=7-a₁，
∴a_n=

2n-2+a1， n为奇数 2n+3-a1， n为偶数

．
①当n为奇数时，a_n=2n-2+a₁，由a_n+2n²≥0成立，
即2n-2+a₁+2n²≥0，
转化为a₁≥-2n²-2n+2，恒成立，
设f（n）=-2n²-2n+2=-（n+

1

2

）²+

5

2

，
∴f（n）_max=f（1）=-2，
∴a₁≥-2．
②当n为偶数时，a_n=2n+3-a₁，由a_n+2n²≥0成立，
即2n+3-a₁+2n²≥0，
转化为-a₁≥-2n²-2n-3，恒成立，
设g（n）=-2n²-2n-3=-（n+

1

2

）²-

5

2

，
∴g（n）_max=g（2）=-15，
∴-a₁≥-15．
即a₁≤15，综上-2≤a₁≤15，
即a₁的取值范围是[-2，15]．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用已经递推数列的应用，考查学生的运算和推理能力，求出数列的递推关系是解决本题的关键．