Question

已知椭圆C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短轴长为2，离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（1，0）的任一直线l交椭圆C于A，B两点（长轴端点除外），证明：存在一定点Q（x₀，0），使

QA•

QB

为定值，并求出该定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意得b=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆

x2

4

+y2=1，得（t²+4）y²+2ty-3=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能证明存在一定点Q（x₀，0），使

QA•

QB

为定值，并求出该定点坐标．

解答： （本题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意得b=1，又e=

3

2

，即

c

a

=

3

2

，
∴c2=

3

4

a2，即b2=

1

4

a2，
∴a²=4，∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，
将其代入椭圆

x2

4

+y2=1，消去x化简得（t²+4）y²+2ty-3=0，
由韦达定理

y1+y2= -2t t2+4 y1•y2= -3 t2+4

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

QA

=(x1-x0，y1) ， 

QB

=(x2-x0，y2)，
∴

QA

•

QB

=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2-(x1+x2)x0+x02+y1y2
=(ty1+1)(ty1+1)-[t(y1+y2)+2]x0+x02+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(1-x0)(y1+y2)+(x0-1)2
=(t2+1)•

-3

t2+4

+t(1-x0)•

-2t

t2+4

+(x0-1)2
=

(x02-4)t2+4x02-8x0+1

t2+4

，
∵对过点P的任意直线，使

QA

•

QB

为定值，
∴只要

x02-4

1

=

4x02-8x0+1

4

，
解得x0=

17

8

，此时

QA

•

QB

=

33

64

，定点Q(

17

8

，0)．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，并考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．