Question

5．已知复数z满足z（1+2i）=5i．
（1）求复数z，并判断z是否为方程x²-4x+5=0的一个根；
（2）求复数$\overline z$+$\frac{5}{z}$的模．

Answer 1

分析 （1）直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．
（2）利用复数的代数形式混合运算，化简求解即可．

解答 （本题满分14分）
解：（1）$z=\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=i（1-2i）=2+i$，…（4分）
方程x²-4x+5=0的根为2±i，所以复数z是该方程的一个根．…（8分）
（也可以将z=2+i代入验证）
（2）$\overline z+\frac{5}{z}=2-i+\frac{5}{2+i}=4-2i$，…（12分）
∴$|{\overline z+\frac{5}{z}}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}$．…（14分）

点评 本题考查复数的基本运算，复数的模的求法，考查计算能力．