Question

19．如图．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x²+c的图象抛物线交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），与y轴交点C（0，-3）．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求点D的坐标；
（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过求函数解析式，求出相应线段的长度，得到∠ABC的正切值，进而求出∠ABC度数；
（2）求出直线AC的方程和线段AC的长度，根据面积得出D到直线AC的距离，列方程组解出D的坐标；
（3）利用抛物线解析式设出O′，通过旋转60°，求出点B′的坐标，将点B′代入抛物线解析式即可求出．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入f（x）得c=-3，∴f（x）=x²-3．
令f（x）=0得x²-3=0，解得x=±$\sqrt{3}$，∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0）．
∴tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=60°．
（2）由抛物线的对称性可知AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=2$\sqrt{3}$．
∵△ADC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴点D到AC的距离为$\frac{3}{2}$．
直线AC的方程为y=-$\sqrt{3}$x-3，即$\sqrt{3}$x+y+3=0．
设D（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-3}\\{\frac{|\sqrt{3}x+y+3|}{2}=\frac{3}{2}}\\{x＞0}\\{y＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．∴D点坐标为D（$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）．
（3）设点O′（m，m²-3），∵O′，B′分别是由O，B（$\sqrt{3}$，0）顺时针旋转60°得到的，
∴B′（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m²-$\frac{9}{2}$），∴m²-$\frac{9}{2}$=（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-3，解得m=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴O′坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{21}{16}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线与圆锥曲线的关系，旋转变换，属于中档题．