Question

7．下列函数在其定义域内，既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=-$\frac{1}{x}$
• B． y=ln（x+5）
• C． y=x²-1
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据反比例函数在定义域上的单调性，奇函数图象的对称性便可判断出A，B，C都错误，从而得出D正确．

解答 解：A.$y=-\frac{1}{x}$在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B．y=ln（x+5）的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
C．y=x²-1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
D．设y=f（x），f（x）定义域为R，且f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
$f（x）=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递增，且0²=-0²；
∴f（x）在定义域R上是增函数，∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查反比例函数在定义域上的单调性，奇函数图象的对称性，熟悉对数函数和二次函数的图象，熟悉平移变换，以及奇函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断．